Wektor węzłów \( [0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 5] \), w którym pierwszy i ostatni węzeł powtórzone są 3=2+1 razy, definiuje nam funkcje bazowe drugiego stopnia.
W celu zilustrowania funkcji bazowych wynikających z różnych wektorów węzłów polecamy załączony kod MATLABa.
Mamy więc teraz
\( \xi_1=\xi_2=\xi_3=0, \xi_4=1, \xi_5=2, \xi_6=3, \xi_7=4, \xi_8=\xi_9=\xi_{10}=5 \)
Ponieważ zmieniła się liczba węzłów w wektorze, musimy ponownie zdefiniować nowe funkcje bazowe zerowego i pierwszego stopnia (ponieważ będzie ich więcej i będą one miały inną numeracje).
Funkcje bazowe zerowego stopnia:
\( B_{1,0}=1 \textrm{ dla }x\in[\xi_1,\xi_2=[0,0]=\{0\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{2,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_2,\xi_3]=[0,0]=\{0\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{3,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_3,\xi_4]=[0,1] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{4,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_4,\xi_5]=[1,2] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{5,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_5,\xi_6]=[2,3] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{6,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_6,\xi_7]=[3,4] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{7,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_7,\xi_8]=[4,5] \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{8,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_8,\xi_9]=[5,5]=\{5\} \), 0 w pozostałych punktach,
\( B_{9,0}=1 \textrm{ dla } x\in[\xi_9,\xi_{10}]=[5,5]=\{5\} \), 0 w pozostałych punktach.
Podobnie, musimy redefiniować funkcje bazowe pierwszego stopnia dla nowego wektora węzłów. Przypominamy sobie wzór dla \( p=1 \)
\( B_{i,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_i}{\xi_{i+1}-\xi_i}B_{i,0}(\xi)+\frac{\xi_{i+2}-\xi}{\xi_{i+2}-\xi_{i+1}}B_{i+1,0}(\xi) \),
do którego wstawiamy kolejne węzły:
\( B_{1,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_1}{\xi_{2}-\xi_1}B_{1,0}(\xi)+\frac{\xi_{3}-\xi}{\xi_{3}-\xi_{2}}B_{2,0}(\xi)=\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{1,0}(\xi)}+\color{red}{\frac{0-\xi}{0-0}B_{2,0}(\xi)} =0 \)
\( B_{2,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_2}{\xi_{3}-\xi_2}B_{2,0}(\xi)+\frac{\xi_{4}-\xi}{\xi_{4}-\xi_{3}}B_{3,0}(\xi) ={\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{2,0}(\xi)}}+\frac{1-\xi}{1-0}B_{3,0}(\xi)= 1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \)
\( B_{3,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_3}{\xi_{4}-\xi_3}B_{3,0}(\xi)+\frac{\xi_{5}-\xi}{\xi_{5}-\xi_{4}}B_{4,0}(\xi) = \frac{\xi-0}{1-0}B_{3,0}(\xi)+\frac{2-\xi}{2-1}B_{4,0}(\xi) = \xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], 2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2] \)
\( B_{4,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_4}{\xi_{5}-\xi_4}B_{4,0}(\xi)+\frac{\xi_{6}-\xi}{\xi_{6}-\xi_{5}}B_{5,0}(\xi) = \frac{\xi-1}{2-1}B_{4,0}(\xi)+\frac{3-\xi}{3-2}B_{5,0}(\xi) =\xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2], 3-\xi\textrm{ dla } \xi\in[2,3] \)
\( B_{5,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_5}{\xi_{6}-\xi_5}B_{5,0}(\xi)+\frac{\xi_{7}-\xi}{\xi_{7}-\xi_{6}}B_{6,0}(\xi) = \frac{\xi-2}{3-2}B_{5,0}(\xi)+\frac{4-\xi}{4-3}B_{6,0}(\xi) = \xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3], 4-\xi\textrm{ dla } \xi\in[3,4] \)
\( B_{6,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_6}{\xi_{7}-\xi_6}B_{6,0}(\xi)+\frac{\xi_{8}-\xi}{\xi_{8}-\xi_{7}}B_{7,0}(\xi) = \frac{\xi-3}{4-3}B_{6,0}(\xi)+\frac{5-\xi}{5-4}B_{7,0}(\xi) = \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4], 5-\xi\textrm{ dla } \xi\in[4,5] \)
\( B_{7,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_7}{\xi_{8}-\xi_7}B_{7,0}(\xi)+\frac{\xi_{9}-\xi}{\xi_{9}-\xi_{8}}B_{8,0}(\xi) = \frac{\xi-4}{5-4}B_{7,0}(\xi)+{\color{red}{\frac{5-\xi}{5-5}B_{8,0}(\xi)}} = \xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \)
\( B_{8,1}(\xi)=\frac{\xi-\xi_8}{\xi_{9}-\xi_8}B_{8,0}(\xi)+\frac{\xi_{10}-\xi}{\xi_{10}-\xi_{9}}B_{9,0}(\xi) = \color{red}{\frac{\xi-5}{5-5}B_{8,0}(\xi)}+\color{red}{\frac{5-\xi}{5-5}B_{9,0}(\xi)}=0 \)

Funkcje bazowe drugiego stopnia uzyskuje się ponownie używając wzoru dla \( p=2 \), przy założeniu, że kolejne węzły wsadzane do mianownika muszą być różne, a jeśli nie są różne, wówczas dany człon zamieniamy na zero. Człony, które znikają zaznaczamy na czerwono. W końcowym etapie wyprowadzenia wstawiamy obliczone przed chwilą wzory na \( B_{1,1}(\xi)=0, \) \( B_{2,1}=1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], \) \( B_{3,1}=\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], 2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2], \) \( B_{4,1}=\xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2], 3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3], \) \( B_{5,1}=\xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3], 4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4], \) \( B_{7,1}=\xi-4 \textrm{ dla } \xi\in[4,5], \) i \( B_{8,1}=0 \). W tym miejscu rozpisujemy wzory na maksymalnie trzy elementy, na których określona jest funkcja B-spline drugiego rzędu.
\( B_{1,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_1}{\xi_{3}-\xi_1}B_{1,1}(\xi)+\frac{\xi_{4}-\xi}{\xi_{4}-\xi_{2}}B_{2,1}(\xi) = {\color{red}{\frac{\xi-0}{0-0}B_{1,1}(\xi)}}+\frac{1-\xi}{1-0}B_{2,1}(\xi) = \\ =(1-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[0,1] \)
\( B_{2,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_2}{\xi_{4}-\xi_2}B_{2,1}(\xi)+\frac{\xi_{5}-\xi}{\xi_{5}-\xi_{3}}B_{3,1}(\xi) = \frac{\xi-0}{1-0}B_{2,1}(\xi)+\frac{2-\xi}{2-0}B_{3,1}(\xi) = \\ =\frac{\xi-0}{1-0}\left[1-\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1]\right]+\frac{2-\xi}{2-0}\left[\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], 2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2]\right] \\ = \xi (1-\xi) +\frac{1}{2}(2-\xi)\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], \frac{1}{2}(2-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[1,2]] \)
\( B_{3,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_3}{\xi_{5}-\xi_3}B_{3,1}(\xi)+\frac{\xi_{6}-\xi}{\xi_{6}-\xi_{4}}B_{4,1}(\xi) = \frac{\xi-0}{2-0}B_{3,1}(\xi)+\frac{3-\xi}{3-1}B_{4,1}(\xi) = \\ = \frac{1}{2}\xi \left[\xi \textrm{ dla } \xi\in[0,1], 2-\xi \textrm{ dla } \xi\in[1,2]\right] + \frac{3-\xi}{2} \left[\xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2], 3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3]\right] = \\ = \frac{1}{2}\xi^2 \textrm{ dla } \xi\in[0,1], \frac{1}{2}\xi(2-\xi) + \frac{1}{2}(3-\xi)(\xi-1) \textrm{ dla } \xi\in[1,2], \frac{1}{2}(3-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \)
\( B_{4,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_4}{\xi_{6}-\xi_4}B_{4,1}(\xi)+\frac{\xi_{7}-\xi}{\xi_{7}-\xi_{5}}B_{5,1}(\xi) = \frac{\xi-1}{3-1}B_{4,1}(\xi)+\frac{4-\xi}{4-2}B_{5,1}(\xi) = \\ = \frac{\xi-1}{3-1}\left[ \xi-1 \textrm{ dla } \xi\in[1,2], 3-\xi \textrm{ dla } \xi\in[2,3] \right]+\frac{4-\xi}{4-2}\left[ \xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3], 4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right] = \\ = \frac{1}{2}(\xi-1)^2\textrm{ dla } \xi\in[1,2], \frac{1}{2}(\xi-1)(3-\xi) +\frac{1}{2}(4-\xi)(\xi-2) \textrm{ dla } \xi\in[2,3], \frac{1}{2}(4-\xi)^2 \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \)
\( B_{5,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_5}{\xi_{7}-\xi_5}B_{5,1}(\xi)+\frac{\xi_{8}-\xi}{\xi_{8}-\xi_{6}}B_{6,1}(\xi) = \frac{\xi-2}{4-2}B_{5,1}(\xi)+\frac{5-\xi}{5-3}B_{6,1}(\xi) = \\ =\frac{1}{2}(\xi-2) \left[ \xi-2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3], 4-\xi \textrm{ dla } \xi\in[3,4] \right] +\frac{1}{2}(5-\xi) \left[ \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4], 5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right]= \\ =\frac{1}{2}(\xi-2)^2 \textrm{ dla } \xi\in[2,3], \frac{1}{2}(\xi-2)(4-\xi) +\frac{1}{2}(5-\xi)(\xi-3) \textrm{ dla } \xi\in[3,4], (5-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \)
\( B_{6,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_6}{\xi_{8}-\xi_6}B_{6,1}(\xi)+\frac{\xi_{9}-\xi}{\xi_{9}-\xi_{7}}B_{7,1}(\xi) = \frac{\xi-3}{5-3}B_{6,1}(\xi)+\frac{5-\xi}{5-4}B_{7,1}(\xi) = \\ = \frac{\xi-3}{5-3} \left[ \xi-3 \textrm{ dla } \xi\in[3,4], 5-\xi \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \right] +\frac{5-\xi}{5-4} \left[ {\color{red}{0}} \right] = \\ =\frac{1}{2}(\xi-3)^2 \textrm{ dla } \xi\in[3,4], \frac{1}{2}(\xi-3)(5-\xi) \textrm{ dla } \xi\in[4,5] \)
\( B_{7,2}(\xi)=\frac{\xi-\xi_7}{\xi_{9}-\xi_7}B_{7,1}(\xi)+\frac{\xi_{10}-\xi}{\xi_{10}-\xi_{8}}B_{8,1}(\xi) = \frac{\xi-4}{5-4}B_{7,1}(\xi)+{\color{red}{\frac{5-\xi}{5-5}B_{8,1}(\xi)}} = \\ = \frac{\xi-4}{5-4}\left[{\color{red}{0}}\right]+{\color{red}{0}} =0 \)
Dostaliśmy sześć funkcji bazowych drugiego stopnia (przy czym opuszczamy ostatnią siódmą równą zero), \( B_{1,2},...,B_{6,2} \).